Black-Scholes PDE的风险中性推导

假设一个代表股价的随机过程，假设其服从如下的随机微分方程（其中，是标准布朗运动）：

我们希望创建一个风险中性的投资组合；投资组合持有单个期权并做空 份股票。投资组合随时间变化的价值服从以下定义：

利用伊藤引理（Itô Lemma），我们希望得到 过程的微分方程形式：

为了让风险中性，我们希望 是解析的，也就是不包含任何扩散项。此时方程中的唯一扩散项为，则很明显我们可以通过设置来将扩散项归零（Delta对冲）：

注意，根据无套利假设，如果此时投资组合无风险，那么我们期望其价值始终等于存入相同价值的现金并按连续复利利率收取利息，即我们希望：：

联立与，则有：

即得到了Black-Scholes PDE。