章4-2

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从相连的关系推导出祖先关系，在什么条件下这种祖先关系能产生序列,这个问题是很重要的。最重要的条件如下:令R为-个多对一的关系，并且使我们的注意仅限于某项x的后代。如此规定,“真R-祖先”关系必是连通的;所以要保证其为序列,剩下的只是它应有示异的性质。这是餐桌一例的一个推广。另外一个推广的情形:取R为一个一对一关系，我们讨论的范围同时包含x的祖先及后代。在这里要产生一个序列的必需条件也是“真R-祖先”关系应该是示异的。

_基于连通和示异，规定了序列。但是序列这时还只是一种定性的先后关系大小关系，而非定量的自然数序列中相邻项之间+1的关系。或者说，自然数是序列，但是序列不足以定义自然数。

2如果我们凭借相连性来定义序，我们将不能定义分数间的人小次序。事实上分数间的大小关系也并不需要从相连的关系产生，我们为定义序列关系所需要的三种特征它都具有。所有这些情形中，序必须通过传递的关系来定义。因为只有这个关系才能跃过无穷多的中间项。如同找出一个集合的数目的计数法一般，相连性的方法只适宜于有穷的序列;即使它可以推广到某些无穷的序列,即总项数虽是无穷的，而在任意二项问的项数却总是有穷的序列;但这种情形必不可看做是一般的。不仅此,所有因假定这方法是普遍的而引起的思想习惯全须从想象中根除。如若不然没有相连的项的序列将成为困惑难解的。而这样的序列对于连续性,空阔,时间以及运动的了解又至关重要。

可能产生序列的方法有许多，但是全都依赖于发现或者构造一个非对称的,传递的,连通的关系。

_类比对于无理数的谈论方式。比如2的平方根由于写成数时不可穷尽，而难以给出。但是可以在“其平方等于2”这个命题为真而言来表示它。

这七个性质显然适合于普通空间中一条直线上的点。我们可由以下定义了解:凡适合它们的任意的三项关系能产生序列。为了确定的原故,让我们假定a在b之左,于是直线(ab)上的点是:(1)a在它们与6之间的点--这些点我们称为在a之左;(2)a本身:(3)a与日之间的点;(4)b本身;(5)在它们与a之间的点，--即在6之右的诸点。在直线(ab)上两点x,y，我们说x在p“之左”,现在可以一般地定义为以下的任何一种情形:

(1)a在它们与b之间的点--这些点我们称为在a之左
看这句话，充分体现罗素的定义基于语境原则的运用。他是通过句子的真来定义概念。而这个句子的真直接诉诸日常经验，可以看作无需另外的基底的东西。

(1)x和y全在a之左,而y在x与a之间;
(2)x在a之左，而y是a或b;或者y在a与bと间;或者y在b之右;
(3)x是a而y在a与b之间或者y是b或者y在b之右;(4)x和y企在a与b之间,而y在x与6之间;
(5)x在a与b之问,而y是る或者在る之右:
(6)x是b，而y在b之右;
(7)x和y全在b之右,而x在b与y之间。

从这七点罗列，指出了任意三项之间构成一个序列的情况。其性质。