测量与误差定律 —— 读《醉汉的脚步》（八）

这一章实际讲的是测量一定有误差；在误差没有朝着特定一个方向偏离的情况下，得到的是正态分布（钟形曲线）：

在揭示钟形曲线重要性的3个人中，其发现者分到的功劳却是最少。亚伯拉罕·棣莫弗（Abraham De Moivre）的突破产生于1733年，当时他正是65岁左右的年纪，而直到5年后他的《机率论》（Doctrine of Chances）第二版出版，人们才知道了这个突破。棣莫弗要找的，是那个被我们在第10行就截断的帕斯卡三角形，当它继续向下深深延伸几百行或几千行时，这些延伸区域中数字的近似值。这个追寻最终通向了钟形曲线。雅可布·伯努利在证明他自己版本的大数定律时，也不得不为这些行中的数字的某些性质而大伤脑筋。这些数字可以非常大，例如在帕斯卡三角形第200行中的一个系数，有着59个数位！在伯努利的时代——实际上在计算机出现之前——这样的数字显然非常难以计算。而我提到过，伯努利在证明定理时进行了种种近似，并最终降低了结果的实用性，这就是原因所在。而利用所发现的曲线，棣莫弗可以得到远好得多的近似系数值，从而极大地改进了伯努利的估计。

如果像在登记卡上所做的一样，我们也将帕斯卡三角形某行的数字，以高度在条形图中表示出来的话，那么棣莫弗推导得到的近似就是一个很显然的结果。比如，在帕斯卡三角形第三行中的3个数字是1、2、1。在条形图中，第一个条形为1个单位高；第二个的高度是第一个的一倍；而第三个条形的高度又再次为1个单位。现在来看看第五行中的五个数字：1、4、6、4、1。这时的图中将有五根条形，且同样起始于矮条，在中间上升到顶点，然后又对称地降下来。那些非常下面的行，其系数会形成有非常多糸形的条形图，但行为方式却是一样的。帕斯卡三角形的第10行、第100行和第1000行所对应的条形图在139页中给出。

案例1 —— 大部分基金经理的成绩是不是来自于运气：

在图中，以正方形标出的，是300名学生对10次扔硬币结果进行猜测的数据。水平轴上的数字，代表这10次中猜对的次数，从0次到10次。垂直方向上画出的，是正好猜中水平轴中相应次数的学生个数。曲线的形状像一口钟，中心处在猜中5次的位置，该点处的曲线高度对应了75名学生。在左边，差不多是3次到4次中间的地方，曲线高度大致为最高值的2/3，即约51名学生；而在右边，这个高度所对应的点落在了6次与7次的中间。对于猜测扔硬币的结果这样的随机过程而言，产生这个数量级标准差的钟形曲线，是一个典型的结果。

在同一张图上，我们还画出了另一组以圆形标出的数据。这组数据给出的，是300名基金经理的表现。此时，水平轴表示的不是10次扔硬币中猜对的次数，而是10年中某个经理的表现高于这个群体平均水平的年份数量。注意两条曲线之间的相似性！在第九章中，我们将回到这个问题上来。

这里是说，大部分基金经理的成绩，就是来自于运气 —— 但是并不否认，还是“有可能”有真正水平高的基金经理，这是这类检验所能得到的答案。

案例2 —— 如果考虑到测量误差，很多抽样调查的比例变化，并没有意义：

无论在何时对任何类型的调查或民意测验结果进行评价时，关键都在于我们应该认识到，当这个调查或测验重复进行时，结果会不出意外地发生变化。举例来说，如果真实情况是有40%的登记选民认同总统的作为，那么6次独立调查更可能给出像37%、39%、39%、40%、42%和42%这样的结果，而并非所有这6次调查都发现总统的支持度为40%（前面这6个数字，实际上是2006年9月的头两周中，对美国总统任职情况支持度进行的6次独立调查结果）。这也就是为什么——同样作为一条经验规则——任何误差幅度之内的差别都应当被忽略的原因。但是，《纽约时报》虽然不会登出《下午两点的职位与薪水中等增长》这样的头条，但在报导政治民意调查时，类似的头条却随处可见。举个例子，2004年共和党全国大会之后，CNN发出的头条是《布什的支持度显然有中等程度的反弹》。CNN的专家们接着就解释道“布什在大会上的支持率反弹看来约为2个百分点……潜在选民中声称要选他为总统的比例，从大会前的50%立刻上升到了之后的52%”。只是到了后面，报导者才指出，调查的误差幅度为正负3.5个百分点，这实际等于说上面的新闻根本毫无意义。显然，“显然”这个词在 CNN评论节目中的真正含义是“显然不”。

本章的核心洞察是，既要看到个体的成绩，也要看到历史的进程：

当看到一次成功或失败时，我们所观察到的只是一个数据点，一个钟形曲线上的采样，它仅仅代表了那早已存在的可能性之一。我们无法得知这个单独的观测所代表的，到底是均值本身，还是某个“例外值”；也无法知道这个观测所对应的，到底是我们有把握赌一把的事情，还是某个不大可能再次产生的罕见情况。但至少应当清楚，一个采样点就是一个采样点，相比于简单地将其作为真实情况来接受，我们更应在产生该采样点的标准差或概率分布这个语境下来认识它。

首先看到、看清、接纳一个点 —— 也就是接受这个“点”的成功结果；其次，去思考背后的那个生成机制，在这里是钟形曲线 —— 点背后的系统，更加地重要。