完美数

今天我来讲一讲什么是完美数。什么是完美数呢？完美数就是一个数。他的真因数之和。加起来能变成他。这就是完美数。就比如说数字六。毕竟他看起来也不怎么完美。为什么就不能是5或者10呢？因为六有两个因数。2×3。和1×6。但是呢，1×6里面有一个自己。要把这个六减掉。那就变成了1+2+3。所以说呢，这样的话六就是一个完美数了。没事第一个完美数这样不用担心。说不定下一个就是你心中所想的。美好下一个数字是28。不是你们可能会说这到底是什么东西啊？为什么每一个不能是26呢？好歹各位的一样。但是现实就是这样。每一个位数越大的完美数呢，花的时间越多。就导致很多科学家都因为寻找完美数度过的一生。而这一生其实也并没有浪费。

    35为什么要找完美数呢？其实我个人认为是为了好玩。毕竟完美数这个概念只是一个定义，并没有什么实际的用途。所以我认为花这么多精力和时间寻找完美数没有很大的意义。那我们到底为什么要寻找完美数呢？

    完美数又称完全数或完备数，是一些特殊的自然数。

它所有的真因子，即除了自身以外的约数的和，即因子函数，恰好等于它本身，如果一个数恰好等于它的因子之和，则称该数为“完全数”，公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究完全数的人，他已经知道6和28是完全数。

完美数是非常稀少的，最小的完全数是6，接下来是28，因为两位数中的完全数有且只有28，而在三位数中仅有496是完美数，往后越来越稀少。数学家笛卡尔曾公开预言：“完美数是不会多的，好比人类一样，要找一个完美的人亦非易事。”就像这上面所说的，我们的完美数拿非常的稀少。就像一个好的人一样。我们寻找他的目的也像我们寻找一个人一样。

    今天我在这边所说的，是这三位数之后有完美数，大家都推测四位数中有一个完美说，但实际上并不是这样的下一个完美数是一个八位数的我忘了他具体是多少，但是只知道非常的大而我们所目前了解的完美数能通过很多先进的算法，我们拥有了很多高科技的东西，现在我们得出的完美数最高可以到十几万个一个人要写他的话，不吃不喝不睡，至少得写一个月呢？真的特别的大。

    所以说完美数这种东西不太适合我们寻找，但是我们需要知道为什么我们要寻找完美数又是什么原因，我们为什么要去寻找？找到这些答案之后我们再来评价完美数到底是不是和寻找该不该寻找为什么要去寻找吧？

  公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯首先发现，有的自然数，具有一种奇异的性质：把它所有的除数（本身不包括在内）加起来，正好等于这个自然数自己。例如，6的除数有1、2、3（6不包括在内），且有　6=1+2+3。又如，28的所有的除数为1、2、4、7、14（28不包括在内），且有28=1+2+4+7+14。像这样的数，我们就称之为“完全数”（“完数”）。“完数”这个名称具有神秘的色彩，意思是“完美的数”。

毕达哥拉斯曾说：“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。”有些《圣经》注释家认为6和28是上帝创造世界时所用的基本数字，因为上帝创造世界花了六天，二十八天则是月亮绕地球一周的日数。圣奥古斯丁说：6这个数本身就是完全的，并不因为上帝造物用了六天；事实上，因为这个数是一个完全数，所以上帝在六天之内把一切事物都造好了。

在中国文化里：有六谷、六畜、战国时期的六国、秦始皇以六为国数、六常（仁、义、礼、智、信、孝）、天上四方有二十八宿等等，6和28，在中国历史长河中，之所以熠熠生辉，是因为它是一个完全数。难怪有的学者说，中国发现完全数比西方还早呢。

    完全数诞生后，吸引着众多数学家与业余爱好者像淘金一样去寻找。它很久以来就一直对数学家和业余爱好者有着一种特别的吸引力，他们没完没了地找寻这一类数字。接下去的两个完数看来是公元1世纪，毕达哥拉斯学派成员尼克马修斯发现的，他在其《数论》一书中有一段话如下：也许是这样，正如美的、卓绝的东西是罕有的，是容易计数的，而丑的、坏的东西却滋蔓不已；是以盈数和亏数非常之多，杂乱无章，它们的发现也毫无系统。

但是完全数则易于计数，而且又顺理成章：因为在个位数里只有一个6；十位数里也只有一个28；第三个在百位数的深处，是496；第四个却在千位数的尾巴颈部上，是8128。它们具有一致的特性：尾数都是6或8，而且永远是偶数。但在茫茫数海中，第五个完全数要大得多，居然藏在千万位数的深处！它是33550336，它的寻求之路也更加扑朔迷离，直到十五世纪才由一位无名氏给出。这一寻找完全数的努力从来没有停止。

    17世纪，法国数学家、哲学家、物理学家笛卡尔曾经公开预言：“能找出完美数是不会多的，好比人类一样，要找一个完美人亦非易事。”历史也证实了他的预言。完美数稀少而优美，所以被人们称为“数论宝库中的‘钻石’”。

同时，也发现完全数有许多奇妙的性质，例如存在一种完全数，就会相应地存在一种把1表示成不同单位分数之和的表达式。比如有完全数6，就有下面的1的单位分数之和的表达式：

同样，有完全数28，就有下面的1的单位分数之和的另一种表达式：

这很好理解。只要把完全数的表达式两边同时除以完全数即可。所以，从完全数的表达式

496 = 1+2+4+8+16+31+62+124+248出发，把它的两边同时除以496，就可以得出：2）所有的完全数的倒数都是调和数。例如：1/1+1/2+1/3+1/6=2；1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2；1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=2。

（3）可以表示成连续奇立方数之和。除6以外的完全数，都可以表示成连续奇立方数之和，并规律式增加。例如：28=1+3^3；496=1^3+3^3+5^3+7^3；8128=1^3+3^3+5^3+……+15^3；33550336=1^3+3^3+5^3+……+125^3+127^3。

（4）都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和。不但如此，而且它们的数量为连续质数。例如：6=2^1+2^2；28=2^2+2^3+2^4；496=2^4+2^5+2^6+2^7+2^8；8128=2^6+2^7+2^8+2^9+2^10+2^11+2^12；33550336=2^12+2^13+……+2^24。

（5）完全数都是以6或8结尾。如果以8结尾，那么就肯定是以28结尾。（科学家仍未发现由其他数字结尾的完全数。）

（6）各位数字辗转式相加个位数是1。除6以外的完全数，把它的各位数字相加，直到变成个位数，那么这个个位数一定是1。例如：28：2+8=10，1+0=1；496：4+9+6=19，1+9=10，1+0=1；8128：8+1+2+8=19，1+9=10，1+0=1；33550336:3+3+5+5+0+3+6=28,2+8=10,1+0=1。

（7）它们被3除余1、被9除余1、1/2被27除余1。除6以外的完全数，它们被3除余1，9除余1，还有1/2被27除余1。28/3 商9余1，28/9 商3余1，28/27 商1余1。496/3 商165余1，496/9 商55余1。8128/3 商2709余1，8128/9 商903余1，8128/27 商301余1。

    1946年，人们开始利用计算机找完全数，人们借助这一有力的工具继续探索。笛卡尔曾公开预言：“能找出完全数是不会多的，好比人类一样，要找一个完美人亦非易事。”时至今日，人们一直没有发现有奇完全数的存在。于是是否存在奇完全数成为数论中的一大难题。只知道即便有，这个数也是非常之大，并且需要满足一系列苛刻的条件。

2001年11月11日，数学家找到了第39个完全数： 它有8107891位.

到2013年2月6日为止，一共只找到了48个完全数.在无穷的自然数中，到底有多少个完全数？

现在已找出的48个完全数均为偶数，是否存在奇完全数？如果存在，它必须大于10^300。至今无人能回答这些问题。尽管没有发现奇完全数，但当代数学家奥斯丁欧尔证明，若有奇完全数，则其形式必然是12^p+1或36^p+9的形式，其中p是素数。在10^300以下的自然数中奇完全数是不存在的。

在探寻完全数的过程中，还有这样一段轶事：1936年美国联合通讯社播发了一条新闻，《纽约先驱论坛报》报道说：“S.I.克利格(Kireger)博士发现了一个155位的完全数 ，该数的各位数字依次是：26815615859885194199148049996411692254958731641184786755447122887443528060146978161514511280138383284395055028465118831722842125059853682308859384882528256.

这位博士说，为了证明它确为完全数，足足奋斗了五年之久.”实际上在两千多年前，欧几里德就已经告诉大家是完全数 ，其中n是正整数，后经欧拉严格证明，欧几里德的公式是正确的.所以对那些数学狂热者应当心，自己发现的可能是块“旧大陆”，并非新成就.

  更惊喜的是，如果一个正整数全部因子（包括它本身）之和等于这个数的某个整数倍，我们就称这个数为多完全数。如120全部因子为

1，2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40，60，120。

这些因子之和为360，360正好是120的三倍。所以，120是一个多完全数，而倍数3称为这个完全数的指标。多完全数规律性比完全数差，难以找到一定的公式，只有用计算机来寻找较大的多完全数。

过去，人们竭尽全力只找到大约700个多完全数，其中最大的具有“指标”8。最近美国科罗拉多州的数学家弗雷德海仑尼乌斯编制了一套计算机程序，将多完全数的个数扩大到了1288个。其中包括14个天文数字的大数，它们的“指标”为9，而最大的数有588位。

据理论研究，对于每一个“指标”，只有有限多个多完全数。 “指标”为3的多完全数只有6个； “指标”为4的多完全数只有36个； “指标”为5的多完全数只有65个。然而“指标”为8的多完全数，已经知道的就有400多个，它们几乎都是海仑尼乌斯发现的。

1644年法国数学家梅森在其所著的《物理数学随感》一书中指出，庞格斯给出的28个“完美数”中，只有8个是正确的，即当P=2、3、5、7、13、17、19和31时，2^(P-1)(2^P-1)是完美数，同时又增加了P=67、P=127和P=257。在未证明的情况下他武断地说：当P≤257时，只有这11个完美数。这就是著名的“梅森猜测”。

“梅森猜测”吸引了许多人的研究，德国数学家莱布尼兹和哥德巴赫都认为是对的；他们低估了完美数的难度。1730年9月，被称为世界四大数学家雄狮之一的欧拉，时年23岁，正值风华茂盛。他出手不凡，给出了一个出色的定理：“每一个偶完美数都是形如2^(P-1)(2^P-1)的自然数，其中P是素数，2^P-1也是素数”，并给出了证明。这是欧几里得定理的逆定理。有了欧几里得和欧拉两个互逆定理，公式2^(P-1)(2^P-1)就成为判断一个偶数是不是完美数的充要条件了。

欧拉研究“梅森猜测”后指出：“我冒险断言：每一个小于50的素数，甚至小于100的素数使2^(P-1)(2^P-1)是完美数的仅有P取2、3、5、7、13、17、19、31、41和47，我从一个优美的定理出发得到了这些结果，我自信它们具有真实性。”

1772年欧拉因过度拼命工作双目已经失明了，但他仍未停止探究；他在致瑞士数学家丹尼尔的一封信中说：“我已经心算证明P=31时，2^30(2^31-1)是第8个完美数。”他的顽强毅力和解题技巧令人赞叹不已。同时，他发现自己过去认为P=41和P=47时是完美数是错误的。欧拉定理和他发现的第8个完美数的方法，使完美数的探究发生了深刻变化，可是人们仍不能彻底解决“梅森猜测”。

  1876年法国数学家鲁卡斯创立了一种检验素数的新方法，证明P=127时确实是一个完美数，这使“梅森猜测”之一变成事实；他的新方法给人们探究完美数带来了生机，同时也动摇了“梅森猜测”，因为数学家借助他的新方法发现猜测中P=67和P=257时不是完美数。在以后1883至1931年的48年间，数学家发现“梅森猜测”中P≤257范围内漏掉了P=61、P=89和P=107时的3个完美数。

虽然“梅森猜测”中有错漏，但是梅森在17世纪的欧洲起了一个极不平常的思想通道作用，在学人心目中有着崇高的地位。为了纪念他对科学的贡献，1897年在首届国际数学家大会上(2^P-1)型的素数被命名为“梅森素数”。可以说，只要找到梅森素数，就可以找到与其对应的完美数。　

分布式计算技术的出现使完美数的探究如虎添翼。1996年初，美国计算机专家沃特曼编制了一个梅森素数计算程序，并把它放在网页上供数学家和业余数学爱好者免费使用。这就是举世闻名的“互联网梅森素数大搜索”(GIMPS)项目，也是全世界第一个基于互联网的分布式计算项目；该项目主要利用大量普通计算机的闲置处理能力来获得相当于超级计算机的运算能力。美国计算机专家库尔沃斯基于1997年建立了“素数网”(PrimeNet)，使分配搜索区间和向GIMPS发送报告自动化。人们只要从该项目下载开放源代码的Prime95或MPrime软件，就可以马上寻找梅森素数了。

为了激励人们寻找梅森素数和促进网格技术的发展，总部设在美国的电子新领域基金会(EFF)于1999年3月向全世界宣布了为通过GIMPS项目来寻找梅森素数而设立的“协同计算奖”。它规定向第一个找到超过100万位数的个人或机构颁发5万美元。后面的奖金依次为：超过1千万位数，10万美元；超过1亿位数，15万美元；超过10亿位数，25万美元。但是绝大多数研究者参与该项目并不是为了金钱，而是出于好奇心、求知欲和荣誉感。

美国加州大学洛杉矶分校的计算机专家史密斯于2008年首先找到超过1千万位的梅森素数——2^43112609-1，该数有12 978 189位。这一重大成就被著名的《时代》杂志评为“2008年度50项最佳发明”之一。不过，史密斯是私自利用学校的75台计算机参加GIMPS项目的；本来这种行为应该被处罚，但鉴于他为学校争了光，反而受到了校方的表彰。前不久，他获得了EFF颁发的10万美元大奖及金牌一枚。

经过确认，2017年12月26日，美国田纳西州的51岁联邦快递员、曾经干过电气工程师的Jonathan Pac发现了 第50个梅森素数，数值为2^77232917 -1，也就是2的77232917次方减1。 它是一个23249425位数 ，比2016年1月份发现的第49个梅森素数多了接近100万位，可以写满9000页纸，1秒钟写1英寸(2.54厘米)长也要连写54天，整个数字长达37英里(59.5公里)，比第49个长了3英里(4.8公里)。 Jonathan Pac已经加入GIMPS项目（搜索梅森素数的分布式网络计算）寻找梅森素数超过14年， 这次利用自己的一台Core i5-6600电脑，连续运行了六天，才得到这个重大发现 ，并由四个人在五个不同平台上使用四种不同算法进行了验证：

－ Aaron blosser，Intel Xeon服务器，Prime95，37小时。

－ David Stanfill，AMD RX Vega 64显卡，gpuOwL，34小时。

－ Andreas Hoglund，NVIDIA Titan Black显卡，CUDALucas，73小时；亚马逊AWS，Mlucas，65小时。

－ Ernst Mayer，32核心Xeon服务器，Mlucas，82小时。

Jonathan Pac为此获得了3万美元奖金。接下来如果谁第一个发现首个超过1亿位数的梅森素数，将获得15万美元奖金！10亿位数的会奖励25万美元！

目前世界上有192个国家和地区60多万人使用超过100万台计算机参与GIMPS项目。迄今为止，人们通过该项目已经找到15个梅森素数，其发现者来自美国（9个）、德国（2个）、英国（1个）、法国（1个）、挪威（1个）和加拿大（1个）。也就是说，有15个完美数是通过GIMPS项目被发现的。全球间接寻找新完美数的“数字游戏”仍在进行中。

值得一提的是，人们在寻找完美数的同时，对梅森素数的重要性质——分布规律的研究也一直在进行着。从已发现的梅森素数来看，它在正整数中的分布时疏时密、极不规则，因此研究梅森素数的分布规律似乎比寻找新的完美数更为困难。

梅森素数在密码学方面有潜在的应用。现在人们已将大素数用于现代密码设计领域（如公钥加密和数字签名），其原理是：将一个很大的数分解成若干素数的乘积非常困难，但将几个素数相乘却相对容易得多。在这种密码设计中，需要使用较大的素数，素数越大，密码被破译的可能性就越小。它促进了网格技术的发展。而网格技术将是一项应用非常广阔、前景十分诱人的技术。另外，探寻梅森素数的方法还可用来测试计算机硬件运算是否正确。

  俗话说，“一叶知秋”、“滴水映海”。当我们追溯完美数探究历程之时，可以窥见其探究蕴含着数学家及数学爱好者的辛勤努力，正是由于他们的不懈奋斗，才取得了可喜的进展，并创造了今天的辉煌。不管有没有奇完美数，我们还有第二个未解决问题：偶完美数的集合是有限的还是无穷的。或者这等于问，是否存在有限或者无穷多个梅森素数。

  所以说呢，在我们的生活中并不存在有非常多的完美数，而我们的完美人也不是很多。所以我们一定要做好自己让自己也是一个非常完美的人。

今天我的分享到此就结束了下次呢，我也会来帮助讨论一些新的数字。

哥德巴赫给欧拉的信（1742）

这是18世纪俄罗斯的一个夏夜。克里斯蒂安-哥德巴赫（ Christian Goldbach）正在给莱昂纳德-欧拉写一封信，提出一个数学猜想。两个多世纪后，没有任何数学家能够证明或反驳这个猜想，它仍然没有得到解决。

哥德巴赫提出的猜想是：

每一个可以写成两个素数之和的整数，也可以写成任意多的素数之和，直到所有项都是单位1。

在这个猜想中，他把1当作了素数。然后他在信的空白处提出了第二个猜想：

每个大于2的整数都可以写成三个素数之和。

欧拉是有史以来最伟大的数学家之一。数学中最漂亮和第二漂亮的方程都来自欧拉（Leonard Euler）。你可以在这里读到它们：

很多人真正爱上数学，是从欧拉公式开始的，它到底有怎样的魔力？

第二美丽的公式——欧拉多面体公式，打开了一个新的几何领域

欧拉研究了哥德巴赫的猜想，并于同年6月30日给他回信。哥德巴赫说，这两个猜想中的第一个可以从下面的陈述中得出：

每个正的偶数都可以写成两个素数之和

哥德巴赫猜想的现代版本是：

每个大于2的偶数都可以写成两个素数之和。

这就是哥德巴赫猜想，简单易懂，易于检验。即使是大数，一个简单的计算机代码也能检验出来。就像科拉茨猜想一样，已经对大量的数字进行了检验，但没有找到反例。

从一个“简单”的数学难题中窥视数学的本质，数学没有尽头

即使是一个小数字，如2566，也有37对这样的质数。它们是：

17+2549, 23+2543, 89+2477, 107+2459, 149+2417, 167+2399, 173+2393, 227+2339, 233+2333, 257+2309, 269+2297, 293+2273, 353+2213, 359+2207, 467+2099, 479+2087, 503+2063, 563+2003, 569+1997, 587+1979, 593+1973, 617+1949, 653+1913, 659+1907, 677+1889, 719+1847, 743+1823, 857+1709, 929+1637, 947+1619, 953+1613, 983+1583, 1013+1553, 1193+1373, 1259+1307, 1277+1289, 1283+1283

我们可以从哥德巴赫分区中直观地看到所有偶数是由两个素数组成的。如下图所示，从2到47的质数可以组成最大94的偶数。

从4到96的偶数的哥德巴赫分区。

为了更好地理解这个猜想，我们来谈谈素数。素数定理表明，如果随机选择一个整数m，它是素数的几率是1/ln(m)。

因此，如果n是一个大的偶数，m是3和n/2之间的数字，那么m和（n-m）同时是素数的概率将是：

通过启发式方法，将一个大的偶数n写成两个奇数素数之和的方法总数大约为

  对哥德巴赫猜想也有不同的图表。将一个偶数n写成两个素数之和（4≤n≤1,000）的方法有很多，可以做一个漂亮的图。

将偶数n写成两个素数之和的方法（4≤n≤1,000）。

将一个偶数n写成两个素数之和的方法（4≤n≤1,000,000）。

可以看到，随着n的增加，将n写成两个素数之和的方法也在增加。

今天，"每个大于2的偶数都可以写成两个素数之和 "的说法是哥德巴赫猜想的通常表达方式。这种形式也被称为 "强"、"偶 "或 "二进制 "哥德巴赫猜想。还有一个 "弱 "哥德巴赫猜想，即 "每个大于7的奇数都可以写成三个奇数之和"。它也被称为 "哥德巴赫弱猜想"，"奇数哥德巴赫猜想"，或 "三元哥德巴赫猜想"。

奇数哥德巴赫猜想的证明是由哈拉尔德-赫夫戈特在2013年给出的。

即使过了这么多世纪，可能也没有人知道我们如何证明或反驳这个猜想。虽然我们已经检验了非常多的数字，但仍然可能有一些数字不遵循这个猜想，只要有一个，这个猜想就不成立了。

匈牙利数学家乔治-波利亚在1919年提出了一个反例：1.854×10^361，但在1958年被C.Brian Haselgrove证明是错误的。1742年提出至今，哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）已经困扰数学界长达三个世纪之久。作为数论领域存在时间最久的未解难题之一，哥德巴赫猜想俨然成为一面旗帜，激励着无数数学家向着真理的彼岸前行。

对不少人来说，知道哥德巴赫猜想，离不开两个人，陈景润和徐迟。后者那篇著名的报告文学，让很多人知道了有位中国数学家，用了几大麻袋演算纸，将哥德巴赫猜想的证明往前推进了一步。

但陈景润究竟在这个领域取得了多大的进展呢？让我们从哥德巴赫猜想本身说起。

源起：素数引发的悬案

一个大于1的自然数，如果除了1与其自身外，无法被其他自然数整除，那么称这个自然数为素数（又称质数）；大于1的自然数若不是素数，则称之为合数。

今天故事的发端，就是这类被称为"素数"的数字。早在古埃及时代，人们似乎就已经意识到了素数的存在[1]。而古希腊的数学家们很早就已经开始对素数进行系统化的研究。例如欧几里得在《几何原本》中就已经证明了无限多个素数的存在[2]以及算术基本定理（即正整数的唯一分解定理，指出任何大于1的自然都可以唯一地写成若干个质数的乘积）[3]。而埃拉托斯特尼提出的筛法则为找出一定范围内所有的素数提供了可行的思路[4]。

古希腊数学家、"几何学之父"欧几里得（左）与数学家、地理学家、天文学家埃拉托斯特尼（右）。前者在其著作《几何原本》中提出五大公设，成为欧洲数学的基础。后者设计出了经纬度系统，并计算出地球的直径。

埃拉托斯特尼筛法。筛法的原理十分简单，计算者从2开始，将每个素数的倍数筛出，记作合数。埃拉托斯特尼筛法是列出所有小素数最有效的方法之一。

随着对素数理解的深入，素数的诸多奇特性质被人们发掘出来。1742年6月7日，普鲁士数学家克里斯蒂安·哥德巴赫在写给瑞士数学家莱昂哈德·欧拉的信中，提到了自己有关素数的一个发现：任一大于2的整数都可以写成三个质数之和。值得一提的是，当时欧洲数学界约定1也是素数。所以换成现代的数学语言，即"任一大于5的整数都可写成三个质数之和"。

将偶数表示为两个素数的和。截至2012年4月，数学家已经验证了4乘以10的18次方以内的偶数，没有发现哥德巴赫猜想的反例[5]。

哥德巴赫无法确认这一发现的普适性，所以他寄希望于欧拉可以给出证明。欧拉在6月30日的回信中肯定了哥德巴赫的发现，并给 出了猜想的等价版本:

任一大于2的偶数，都可表示成两个素数之和。

这也是现在哥德巴赫猜想的通常表述方式，其亦称为"强哥德巴赫猜想"或"关于偶数的哥德巴赫猜想"。欧拉认为可以将这一猜想视为定理，只可惜他也无法给出猜想的证明。

由"强哥德巴赫猜想"，可以推出：

任一大于5的奇数都可写成三个素数之和。

这也称为"弱哥德巴赫猜想"或"关于奇数的哥德巴赫猜想"。当然如果"强哥德巴赫猜想"可以被证明，"弱哥德巴赫猜想"也就迎刃而解。

沉寂：难以逾越的高山

哥德巴赫猜想的困难程度可以与任何一个已知的数学难题相比。

——戈弗雷·哈罗德·哈代

哥德巴赫猜想一直以来都深受业余数学爱好者的青睐，一个很重要的原因就是其表述十分简洁易懂。然而猜想的证明实际上是极为困难的。自1742年猜想被正式提出后的160余年里，数学家苦苦探寻，都没有取得任何实质性的进展，更多的只是提出一些等价的命题，或者是对猜想进行数值验证。

1900年，著名数学家希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出的著名的二十三个问题，其中第八个问题就涉及三个有关素数的猜想：黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数猜想。至今上述三个猜想的研究虽然较20世纪初已经有了长足的进展，甚至有弱化的情况已经被证明，但三个问题本身均仍未被解决。

参加学术会议的希尔伯特。1900年，希尔伯特在巴黎举行的第二届国际数学家大会上作了题为《数学问题》的演讲，提出了23个最重要的数学问题。希尔伯特问题在相当一段时间内引导了世界数学研究的方向，有力地推动了20世纪数学的发展。在许多数学家努力下，希尔伯特问题中的大多数在20世纪中得到了解决。

然而这长达160余年的探索并非毫无成果。由于欧拉、高斯、黎曼、狄利克雷、阿达马等数学家在数论与函数论领域的突破性研究，为之后以哥德巴赫为代表的数论研究打下了坚实的基础。

突破：划破夜空的曙光

数学是科学中的皇后，而数论是数学中的皇后。

——卡尔·弗雷德里希·高斯

问题真正的实质性进展出现在二十世纪20年代。当时出现了两种代表性的思路，一种是英国数学家哈代与李特尔伍德在1923年论文中使用的"哈代-李特尔伍德圆法"[6]，另一种是挪威数学家布朗（Viggo Brun）使用的"布朗筛法"[7,8]。哈代、李特尔伍德与布朗。哈代，英国数学家，二十世纪英国分析学派的代表人物，其研究对后世分析学和数论的发展有深刻的影响。李利特尔伍德，英国数学家，研究领域涵盖数论和数学分析，与哈代有着长达35年的合作。布朗，挪威数学家，其在数论领域的工作极大地推动了哥德巴赫猜想和孪生素数猜想等的研究。

借助上述方法，哈代和李特尔伍德在1923年的论文中证明了"在假设广义黎曼猜想成立的前提下，每个充分大的奇数都能表示为三个素数的和以及几乎每一个充分大的偶数都能表示成两个素数的和"[6]。这里的"广义黎曼猜想"，指的是用狄利克雷L函数代替黎曼猜想中的黎曼ζ函数，其他表述不变。哈代和李特尔伍德的工作使哥德巴赫猜想的证明向前迈进了一大步。

利用上述方法，布朗在1919年证明，"每个充分大的偶数都可以写成两个数之和，并且这两个数每个都是不超过9个素因数的乘积"[7]，所以上述结论也被记作"9+9"。按照布朗的思路，如果最终可以将素因数的个数缩减至1个，即最终证明"1+1"，那么也就意味着证明了哥德巴赫猜想。

冲刺：鼓舞人心的号角

陈景润的每一项工作，都好像是在喜马拉雅山山巅上行走。

——安德烈·韦伊

上文提到的两种思路都在二十世纪都得到了极大的发展。这也极大地推动了哥德巴赫猜想和弱哥德巴赫猜想的证明工作。1937年苏联数学家维诺格拉多夫（Ivan Vinogradov）在对于弱哥德巴赫猜想研究中取得了重大的突破[10]。他在圆法的基础上，去掉了哈代和李特尔伍德证明中对于广义黎曼猜想的依赖，完全证明了"充分大的奇素数都能写成三个素数的和"，即"哥德巴赫-维诺格拉多夫定理"。不过维诺格拉多夫无法给出"充分大"的下限，所以找到这一下限便成为了弱哥德巴赫猜想研究的主要方向。2013年秘鲁数学家哈洛德·贺欧夫各特（Harald Andrés Helfgott）成功将维诺格拉多夫"充分大"的下限缩小至10的29次方左右，通过计算机验证在此之下的所有奇数，结果无一例外都符合猜想，从而最终完成了弱哥德巴赫猜想的证明[11]。

维诺格拉多夫（左）与哈洛德·贺欧夫各特（右）。伊万·马特维耶维奇·维诺格拉多夫，苏联解析数论专家，斯捷克洛夫数学研究所所长。哈洛德·贺欧夫各特，秘鲁数学家，法国国家科学研究院和巴黎高等师范学院研究员。

相比较而言，强哥德巴赫猜想的研究困难相对更大。不过二十世纪上半叶以来，数学家遵照布朗筛法的研究思路，也取得了长足的进展。在布朗证明"9+9"后不久，1924年德裔美籍数学家拉德马赫（Hans Adolph Rademacher）成功证明了"7+7"[12]，1932年德国数学家埃斯特曼（Theodor Estermann）证明了"6+6"[13]，苏联数学家布赫希塔布（Alexander. A. Buchstab）于1938年和1940年证明了分别证明了"5+5"与"4+4"[10]。

布朗筛法较以往的数论方法而言有很强的组合数学特征，应用起来比较复杂。所以在研究的过程中，数学家不断对原有的筛法进行改进。考虑到以往的证明中，总是将命题"a+b"与对一个筛函数的估计直接联系起来，得到的结果相对较弱。1941年，库恩（P. Kuhn）提出了"加权筛法"，借此我们可以在同样的筛函数上、下界估计的基础上得到强结果。例如库恩于1954年就给出了"a+b<7"[8]，即每个偶数都可以写成两个数之和，使得它们各自的素因数个数加起来的总和小于7。而1950年前后挪威数学家阿特勒·塞尔伯格（Atle Selberg）提出的"塞尔伯格筛法"[15]则使得哥德巴赫猜想的研究前进了一大步。塞尔伯格利用求二次型极值的方法极大地改进了筛法，由此法可以得到筛函数的上界估计，结合布赫希塔布恒等式可以得到筛函数的下界估计。在此基础上，维诺格拉多夫、王元等数学家先后完成了"3+3"、"a+b"（a+b<6）以及"2+3"的证明[10]。

阿特勒·塞尔伯格，挪威数学家。研究方向涵盖解析数论，以及自守形式理论。获得1950年的菲尔兹奖和1986年的沃尔夫数学奖。亚历山大·布赫希塔布，苏联数论专家，以其对筛法的研究而闻名。

以上的结果中，比较遗憾的是无法证明偶数分拆成的两个数中一定有一个是素数。主要原因就在于要证明形如"1+x"的命题时，需要估计筛函数S(A,P,z)的上界和下界时，需要估计主项与余项，并证明余项相对于主项可以忽略。这有点类似圆法的思路。不过"1+x"的估计涉及到算术级数中素数分布的均值定理，需要利用较为复杂的解析数论手段。

最早取得突破的是匈牙利数学家阿尔弗雷德·伦伊（Alfréd Rényi）[16]。他率先定性地证明了命题"1+x"，但却没能给出x的具体值。而在这一领域里，我国老一辈数学家取得了卓越的成绩。1962年潘承洞利用伦伊的思路成功证明了"1+5"，同年王元指出潘承洞的结论实则可以推出"1+4"。

"中国解析数论学派"指以华罗庚为代表的数论学派，该学派对于质数分布与哥德巴赫猜想作出了许多重大贡献。华罗庚，中国科学院院士，美国国家科学院外籍院士。他是我国解析数论、典型群、矩阵几何、自守函数论与多元复变函数等领域研究的创始人与奠基者，也是中国在世界上最具影响力的数学家之一。王元，中国科学院院士。他首先将解析数论中的筛法用于哥德巴赫猜想的研究。潘承洞，中科院院士，以哥德巴赫猜想的研究闻名。他首先确定命题"1+x"中x的具体数值，并证明命题"1+5"和"1+4"成立。潘承彪，中科院院士，著名数论学家，潘承洞胞弟，亦是数论学家张益唐在北京大学时的研究生导师。

而使用筛法的最好结果是由我国数学家陈景润得到的。1966年，陈景润在《科学通报》上发表了有关"1+2"的证明，即"任何一个充分大的偶数都可以表示成两个素数的和或者一个素数及一个2次殆素数的和"[17]。换言之，对于任给一个大偶数N，总可以找到奇素数p',p''或p1,p2,p3，使得下列两式至少有一个成立：

1973年，陈景润给出了"1+2"的详细证明，同时改进了1966年研究的数值结果。是年4月，中国科学院主办的《中国科学》上，公开发表了陈景润的论文《大偶数表为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》[18]。在这一证明中，陈景润对筛法作出了重大的改进，提出了一种新的加权筛法。因此"1+2"也被称为陈氏定理。上面仅仅是对于陈景润"1+2"证明思路的简单梳理，事实上其证明过程十分繁琐，而且需要很高的技巧性。能够最终得出"1+2"的证明，陈景润无愧于数论大师之名。

陈景润，福建福州人，大学毕业于厦门大学数学系。1953年到1954年被分配至北京市第四中学任教，后被"停职回乡养病"。1954年，调回厦大任资料员，同时开展数论研究，次年担任助教。1957年9月，华罗庚安排把陈景润调入中国科学院数学研究所。1966年，证明了"1+2"（陈氏定理）。

陈景润后来不断改进自己的结果，从某种意义上来说已经将筛法的威力发挥到了极致。但很可惜的是，陈景润的加权筛法要证明最终哥德巴赫猜想（"1+1"）需要在加权筛中取x=2，而这将导致估计主项和余项变得难以实现。所以如今数学界的主流意见认为，最终证明哥德巴赫猜想，还需要新的思路或者新的数学工具，或者在现有的方法上进行颠覆性的改进。但无论如何，陈景润已经走在了哥德巴赫猜想研究的最前沿。

哥德巴赫猜想为国人所熟知，很大程度上要归功于当代作家徐迟的报告文学《哥德巴赫猜想》[19]。在当时特殊的历史时期，这篇报告文学使整个社会为之一震，同时也推动了我国"报告文学"这一文学题材的繁荣。可惜的是也正是因为这篇报告文学，使得不少没有受过正规数学训练的数学爱好者投入到哥德巴赫猜想的"研究"之中。据说中科院在相当长的一段时间里，每年都会收到"几麻袋"的讨论或声称证明了哥德巴赫猜想的来信来稿。而笔者写作本文的原因之一，也是希望粗略回顾和介绍哥德巴赫猜想与陈景润的"陈氏定理"。同时希望读者可以多多少少了解"1+2"、"1+1"之类的命题的真正内涵，而不至于望文生义，把哥德巴赫猜想视为一道普普通通的课后习题。

展望：未完待续的旅行

数学家与画家和诗人一样，是模式的创造者。——戈弗雷·哈罗德·哈代

近年来，数论这一学科的研究中心似乎也在慢慢转移，哥德巴赫猜想的研究热度相对上个世纪中叶也有所下降。不过数学家对于以哥德巴赫猜想为代表的素数相关问题的研究从来没有停止。比较著名的有前面提到的黎曼猜想以及孪生素数猜想。回望哥德巴赫猜想的发展历程，其发端似乎是数学家心血来潮的胡思乱想。事实上许多历史上大名鼎鼎的猜想皆是如此。

如今不少人谈数学而色变，不仅对于普通人，对于很多科技工作者来说也是这样，希望千方百计地绕开数学这匹"猛兽"。为此不少数学家绞尽脑汁，要找出数学和日常生活的种种联系。

其实，一方面数学本就与世界的发展密不可分，另一方面快节奏的时代追求"经世致用"本也无可非议。只不过笔者此处更希望从数学本身来看待其存在的意义。如哈代所言，"数学家与画家和诗人一样，是模式的创造者"，数学本身是有其美感存在的。数学界追求真理的旅行，就是发现和创造美的旅行。中科院物理所的曹则贤老师曾在他的书里提到，"读数学、物理书和看小说一样，并非完全能看懂的就是好的"[2]。但愿本文的读者也不会被文中偶尔蹦出来的公式吓到，而是可以透过这些繁杂的演算获得属于自己的思考。

"人是一株会思考的芦苇。"没有了思考，人类终将失去存在的意义。