11.希尔波特旅馆

Hilbert's Hotel

一家有无穷多个房间并且住满了客人的旅馆又来了1个位新客人，老板让房间1的老客人搬到房间2，房间2的老客人搬到房间3，房间3的老客人搬到房间4……无论房间的号码有多大，总有一个房间号码比它更大一个数，以此类推，新客人和老客人就都住进了旅馆。

希尔伯特旅馆悖论是一个思想实验，由大卫·希尔伯特（David Hilbert）在1924年的演讲中提出。现在这个悖论已发展为很多情景：

假设有一个旅馆，有无数个房间，所有的房间都住满了。人们可能会认为，酒店将无法容纳任何新到达的客人，就像房间数量有限的情况一样。假设有一位新客人来了，希望住在旅馆里。我们可以同时将当前在房间1的客人移到房间2，将当前在房间2的客人移到房间3，以此类推，将每个客人从当前的房间n移到房间n+1。由于房间数量是无穷大的，不会发生某一间房间的客人无法移到下一间房间的情况。在此之后，房间1是空的，新的客人可以搬到那个房间。通过重复这个过程，可以为任何有限数量的新客人腾出空房间。一般情况下，假设有k位客人想要房间，我们可以应用相同的过程，将每个客人从房间n移动到房间n+k。

这个旅馆也可以容纳无穷多的新客人：只需将房间1的客人移到房间2，房间2的客人移到房间4，房间3的客人移到房间6……房间n的客人移到房间2n，所有奇数房间将为新客人开放。而奇数房间的数量是无穷大的。

希尔伯特悖论会导致一个反直觉的结果。当有无限多的房间时，“每个房间都有客人”和“能再容纳更多的客人”的说法是矛盾的。但也有人认为“无限物的集合”的性质与“有限物的集合”的性质有很大的不同。在一个普通的只有有限个房间的旅馆里，奇数房间的数量明显小于房间的总数。然而，在希尔伯特旅馆，奇数房间的数量并不小于房间的总数。

破解

这是一个由无穷导致的悖论。

首先，在现实中是不存在无穷大的。因此不可能存在一家有无穷多间房间的旅馆。建造一个那样的旅馆，要花费无穷无尽的时间，永远也建造不完。要住满这样一家旅馆也是不可能的，住满这样一家旅馆需要无穷无尽的时间。因此，问这个旅馆又来了新客人还能不能入住，这样的问题是没有意义的，因为这个问题的前提就是没有意义的。

所以，我们不妨把希尔波特旅馆思想实验当作是把一个抽象问题的形象化描述。它所讨论的是，假如两个无穷大是相等的，那么无穷大和无穷大加一哪个更大，无穷大和无穷大的两倍哪个更大。

假如将无穷大定义为一个数字，问旅馆的房间是否能容纳客人，就是问旅馆的房间数和客人数哪个大，而两个无穷大的数字是无法比较的，无论是无穷大和无穷大的比较，还是无穷大和无穷大加一的比较，还是无穷大和无穷大的两倍的比较。

但我们可以将无穷大定义为一种数字的性质。我们如此定义：

无穷大是指未知数量的一种性质，即大于任何一个给定的数字的性质。无穷大不是一个数字，而是一类数字。

那么，我们可以令希尔伯特旅馆的房间数为M，M是无穷大的正整数。由于旅馆是客满的，所以现有客人数也是M。假如新来了一位客人，就没有房间可供入住了。如果老板让房间1的客人搬到房间2，房间2的客人搬到房间3，房间3的客人搬到房间4……最终房间M-1的客人搬到房间M后，房间M的客人就没有房间住了，因为旅馆只有M间房，没有号码为M+1房间。

假设来了无穷多位新客人，老板将房间1的客人移到房间2，房间2的客人移到房间4，房间3的客人移到房间6……最终原来房间号小于等于M/2的客人都移到了房间号小于等于M的偶数号码的房间，但是房间号在M/2（不含）到M（含）之间的客人就没有房间住了，因为旅馆只有M间房，没有号码超过M的房间。