骰子扔到6为止的期望次数

题目

假设一个标准的6面骰子，当投到6时停止，求以下两种条件下的期望投掷次数：

1. 所有投掷序列中6在5之前出现（从未投到5）；
2. 所有投掷序列的元素都是偶数。

情况1

定义条件“所有投掷序列中6在5之前出现（从未投到5）”为事件；定义每个序列开头数字为的情况为事件。根据贝叶斯定理，我们可以得到以下条件概率：

其中：

• 开头数字为任何数字的概率都相等；
• 假设样本空间中所有可能出现的序列有种排列，那么根据对称性，其中6出现在5前面的序列数和5出现在6前面的序列数相等，所以无条件下事件出现的概率为；
• 如果序列中第一个数字是5，那么条件不成立，所以条件概率为；
• 如果序列中第一个数字为6，那么条件必然成立，所以条件概率为。

我们将题目所要求的条件期望投掷次数设为此时，我们可以按照开头数字为不同情况时对符合条件的序列构建一个马尔可夫链：

注意： 此时整个过程是条件于事件的，所以其中的转移概率都为。

基于条件C的投掷过程，注意在条件概率的情况下初次投掷结果为5的概率为0

基于上述过程，我们可以得到以下关于的等式：

注意： 也可以直接看作一个几何分布并根据性质直接得到期望为。

所以条件期望投掷次数为。

情况2

假设序列中全部为偶数的情况为事件（even）。

其中：

• 开头数字为任何数字的概率都相等；
• 我们将在下方单独讨论这种情况；
• 如果序列中第一个数字是5，那么条件不成立，所以条件概率为；
• 如果序列中第一个数字为6，那么条件必然成立，所以条件概率为。

计算，对于一个长度为的序列，事件出现的情况为序列前项都为偶数，最后一项为；我们可以利用全概率公式展开进行计算。设为单次投掷的结果，则：

类似于情况一，我们可以构建一个马尔可夫链，或直接识别出概率分布，并得到结果。

参考资料

• https://math.stackexchange.com/questions/2779681/expected-number-of-die-rolls-to-get-6-given-that-all-rolls-are-even
• https://zhuanlan.zhihu.com/p/29576756

如有内容错误请指出，感谢。