「计算机原理」| 为什么浮点数运算不精确？（阿里笔试）

Mr李 • 2022-02-11 11:26 • 杂文

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前言

最近在公众号阿里技术上看到一套孤尽老师出的 10道Java测试题（据说阿里 P7 工程师的答题正确率只有 50%），其中有几道题是关于浮点数的，聪明的你，在评论区留下答案吧。

(1)
float a = 0.125f; 
double b = 0.125d;
System.out.println((a - b) == 0.0); 
代码的输出结果是什么？

A. true
B. false

(2)
double c = 0.8;
double d = 0.7;
double e = 0.6;

那么 c-d 与 d-e 是否相等？

A. true
B. false

(3)
System.out.println(1.0 / 0); 的结果是什么？

A. 抛出异常
B. Infinity
C. NaN

(4)
System.out.println(0.0 / 0.0); 的结果是什么？

A. 抛出异常
B. Infinity
C. NaN
D. 1.0

(5) 引用自《技术之瞳》
以下数字在表示为double(8字节的双精度浮点数)时存在舍入误差的有：

A 100 
B 根号2 
C 10^30
D 0.1 
E 0.5

(6) 
写出float x 与“零值”比较的if语句

1. 相关概念

关于浮点数的相关概念如下，在下面的分享中，我将不重复解释：

2. 计算机中数据的表示方法

在你的Chrome浏览器上按F12，然后找到console，输入表达式0.1 + 0.2，回车
在你的电子计算器上按0.1 + 0.2 =

你会发现前者的结果是0.30000000000000004，而后者的结果是0.3（当然了！）。那么，为什么计算机的准确度，连普通的电子计算器的都比不上？关键在于计算机与计算器使用了不同的数据表示方法。

2.1 n 位二进制可以表示的信息量

对于整数来说，大家都知道8位有符号整数可以表示[-128,127]，8位无符号整数可以表示[0,255]，不管怎么样，8位二进制无论如何也只能表示256个整数。当需要表示257这个数，有且只有两个办法：

1、增加位数，例如9位二进制可表示的数值范围就可以容纳257这个数
2、改变编码规则，例如规定真值是在机器数的基础上加一，这样的话，0000,0000就表示数1，1111,1111就表示数257。（事实上，这就是移码干的事情，3.1节会再提到）

这就是计算机的自有属性，数字计算机只能处理离散数据，二进制的位数直接决定了它能表示的离散数据个数，也决定了它所能表示的信息个数，对于n位二进制数，它可以表示的信息量为 $2^N$ 。

同理，我们把问题域扩展到全体实数，8位二进制同样也只能表示256个实数。假如约定这样一种8位编码：最低两位为小数区域，其余是整数区域，这样就有：

000000.00 // 表示 0.0
000000.01 // 表示 0.25
000000.10 // 表示 0.5
000000.11 // 表示 0.75
000001.00 // 表示 1.0
000001.01 // 表示 1.25
... 此处省略250个数

我们发现，介于0.0到0.25的数字被跳过了，而即使把小数区域的位长扩大到8位、16位、甚至一个极大的位数，也无法充分表示介于0.0到0.25所有的数。这是因为，在0.0到0.25之间的数是连续的，有无限多个数，但是有限的N位长二进制最多只能表示 $2^N$ 个信息量，有限的信息量无法表示无限的数据量，这就是现实世界与计算机世界的矛盾。

2.2 定点数表示

实数有两种表示格式，分别是定点数和浮点数。像上面说的这种约定整数部分和小数部分为固定位置的格式，就是定点数表示。

定义：
定点数（fixed point numbers）约定机器数中的小数点总是固定在某个特定的位置。
格式：
分为符号位、整数部分、隐含的小数点、小数部分。
特点：
整数部分和小数部分位长固定，当需要表示绝对值特大或者特小的数需要很大的空间。

2.3 浮点数表示

我们已经知道32位二进制可以表示的信息量有 $2^{32}/approx 4*10^9$ ，但是很多语言都会宣称它们的32位单精度浮点数的数值范围约为 $-3.4*10^{38}～ 3.4*10^{38}$ （左右边界），这是因为采用了浮点数格式。

定义：
浮点数（floating point numbers）使用科学计数法存储数字，小数点的位置根据指数的大小而浮动。
格式：
分为符号位、指数、尾数：

$N=2^E*M$

特点：
一部分位作为指数，可以扩大所表示的数值范围
意义：
是数字计算机表示实数的格式，并以IEEE 754 (IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic)为标准。

2.4 定点数和浮点数的区别

表示范围：浮点数一部分位为指数，相同位长，浮点数格式所能表示的数值范围远远大于定点数格式；
精度大小：浮点数格式只有一部分位是有效数值位，相同位长，浮点格式的精度比定点格式低；
运算复杂度：浮点数主要包括指数和尾数两部分，运算时需要对阶、尾数计算、规格化等步骤，浮点运算比定点运算复杂；
溢出：定点运算在数超过可表示数值范围即发生溢出；在浮点运算中，只有规格化后数值超过指数所能表示的范围才溢出。

2.5 计算机表示实数的步骤

前面讲到相关概念时提到了实数的概念，具体如下：

复数的分类示意图

一个虚数上相当于两个实数，所以我们只需要关心实数在计算机中的表示即可，将一个实数装载入计算机需要分为三个步骤：

1、转换为二进制数格式
这个步骤可能损失精度，换句话说，有些数会损失精度，而有些数不会，这取决于表示这个数需要的信息量和浮点数的存储格式
- 无理数（无限不循环小数）包含的信息量是无限的，例如圆周率 $/pi$ ，没有任何一本书能够写到圆周率最后一位，java.lang.Math.PI也只是 $/pi$ 的近似值，类似的，使用有限的二进制位自然无法精确表示；
- 有限循环小数包含的信息量是有限的，它的信息量分为整数部分+小数不循环部分+小数循环部分，例如 $1.8333333... = 1.8/overline{3}$ 。但是浮点数的表示方法分为符号位、指数区域和尾数区域，并不会单独用一块区域来存储循环的部分，因此有限循环小数也无法精确表示；
- 最后剩下整数和有限小数，它们包含的信息量也是有限的，关键看是否有因子5。举两个例子：0.1和1万亿，请问哪个数能用二进制数精确表示？
  从十进制看，0.1拥有2个信息量（个位数为0，第一位小数为1），1万亿拥有一万亿个信息量，二选一的话，肯定是选择信息量更低的0.1。但是，从二进制看，我们会发现0.1转换为二进制居然是一个无限循环小数 $0.0/overline{0011}$ （将整数部分除2取余、小数部分乘2取整来完成转换），所以答案是：1万亿可以精确表示，而0.1无法精确表示！
  事实上，在0.1 到 0.9 的 9 个小数中，只有 0.5 可以用二进制精确的表示。怎么理解呢？我们把1想象成一个圆，在十进制里，它可以划分为10等分；但在二进制里，它只能划分为2等分。
  也就是说二进制里一位，要么表示0，要么表示一半，它没有办法像十进制那样表示3/10、4/10、6/10...... 1的一半在十进制里是什么？0.5，所以二进制可以精确表示0.5，任何包含因子5的数都可以用二进制精确表示。无法精确表示的数字，存储值只能是真实值的近似表示。
提示

类似地，思考下十进制数格式可以精确表示1/3吗？
2、转换为二进制科学计数法表示
这个步骤将二进制小数转换为规范化的科学计数法表示： $N = a * B^E$ ，因为只是写法的转换，所以这一步没有精度损失。
3、转换为IEEE 754 标准格式
IEEE 754严格规定了尾数域和指数域可表示的大小，位数有限，意味着信息量是有限的。有些数需要的二进制数据量巨大，在这个步骤自然会损失精度，具体如下：
- 大于浮点数可以表示的最大绝对值：上溢（溢出到 $/pm/infty$ ）
- 小于浮点数可以表示的最小绝对值：下溢（溢出到 $/pm0$ ）
- 尾数有效位数超过尾数域位数（另外还有隐含的整数位1）：舍入误差

3. IEEE 754 标准的浮点数

IEEE 二进制浮点数算术标准（IEEE 754）是广泛使用的浮点数运算标准，是大多数高级语言的现行浮点运算标准，例如C/C++、Java、JavaScript等。

3.1 一般格式

浮点数格式的关键是科学计数法格式： $N = a * B^E$ ，其中：

a称为尾数(mantissa)，或称有效数字(significand)
B称为基数(base)，在二进制数中，基数是2
E称为指数(exponent)

一个数的科学计数法表示是不唯一的，举个例子，对于二进制数 $1111.0000_{(2)}$ 来说，以下都是合法的科学计数法表示： $111.1*2$ 、 $11.11*2^2$ 、 $11110*2^{-1}$ ，但这些都不是规格化的表示，唯一规格化的表示为： $1.111*2^3$ 。

对于一个科学计数法表示，当尾数a的整数部分有且仅有一位有效数字时，我们称它是规格化的。由于0在数字的最左边是无效的，而在二进制的世界里只有0和1，因此，二进制数使用规格化的科学计数法时，整数部分固定为1。

既然整数部分1是固定的，那么就没有必要存储整数部分的信息了。正因如此，IEEE 754 标准的浮点数采用隐藏位的策略，整数部分的1是隐含的，不需要占用一位比特，这样是使得尾数可以多一位有效数。

综上，IEEE 754 浮点数的一般格式如下：
$N = (-1)^s*1.f*2^E$

IEEE 754 标准的一般格式

现在，我们已经知道浮点数划分的三个区域，现在我们来看这三个区域是如何求值的：

符号位：0表示正，1表示负
指数区域：移码
- 指数区域采用移码表示： $E = 机器数 - bias$ ，偏移值 $bias=2^{位长-1}-1$
  例如位长为8时， $bias=127$ ，位长为11时， $bias=1023$
- 注意：指数域全0和全1为特殊值
尾数区域：隐藏整数位的原码
尾数区域采用原码表示： $1.f = 1 + 机器数$

举个例子，十进制数 $100_{(10)}$ 转换为二进制为 $1.100100*2^6_{(2)}$ 。这里推荐一个站点：浮点数转换器，它可以很方便地对比实数的真值与机器数表示，如下图所示：

3.2 两种常用格式

前面讲的是IEEE 754 浮点数的一般格式，其中最常用的是32位单精度浮点数和64位双精度浮点数，在高级语言中通常代表float和double两种数据类型（例如C/C++、Java）,在有些语言中只有一种数字格式number（例如JavaScript/TypeScript）。

单精度
单精度浮点数有8位指数，23位尾数，再加上隐藏的整数1，总共有24位二进制精度
双精度
双精度浮点数有11位指数，52位尾数，再加上隐藏的整数1，总共有53位二进制精度，具体如下：

3.3 特殊值

在 IEEE 754 标准规定指数区域全0 或全1为特殊值，具体如下：

非规范化数（Denormalized Number）
- 定义：指数域全0，尾数域不为0（去掉隐含整数域为1的约定）
- 意义：可以保存绝对值更小的数，所有可表示的浮点数的差值都可以表示
+0/-0
- 定义：指数域全0，尾数域全0（去掉隐含整数域为1的约定）。IEEE 754 未要求具体的尾数域，意味着NaN不是一个而是一族。
- 意义：符号位为0是+0，符号位为1是-0，在涉及无穷的运算中避免丢失符号信息，例如 $/frac{1}{1/x} = x$ ，如果0不区分正负，在 $x=/pm/infty$ 时不成立
正负无穷（Infinity）
- 定义：指数域全1，尾数全0
- 意义：用于表达计算中产生的上溢（overflow），使得计算中出现上溢不至于终止计算
- 产生：除了NaN外的非零值除以0，其结果为正负无穷
NaN（Not a Number）
- 定义：指数域全1，尾数域不为0
- 意义：表示计算中的错误情况，例如 $/frac{0.0}{0.0}$ 、 $/sqrt2$ ，使得计算中出现错误不至于终止计算
- 特点：NaN是无序的，比较操作符在任一操作数为NaN是为false，!=在任一操作数为NaN时为true，这意味着NaN != NaN。

参考资料

《编码·隐匿在计算机软硬件背后的语言》(第23章) —— [美] Charles Petzold 著
《Java编程思想》(第2章) —— [美] Bruce Eckel 著
《深入理解Java虚拟机》(第6.4节) —— 周志明著
《JavaScript权威指南》(第3章) —— [美] David Flanagan 著
《计算机组成原理考研复习指导》(第2章) —— 王道论坛组编
《代码之谜》 (第4、5章)—— justjavac(迷渡)的博客文章

创作不易，你的「三连」是丑丑最大的动力，我们下次见！

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作者：Mr李
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来源：TechFM
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