考研高等代数真题分类汇编02

zhangchen • 2023-04-27 13:46 • 杂文

已知 $f ( x ) /in P [ x ] , c /in P , c /neq 0 ,$ 证明:若 $f(x+c)$ 在数域 $P$ 上不可约,则 $f(x)$ 在数域 $P$ 上不可约.

证明:反证法.若 $f(x)$ 在 $P$ 上可约,不妨设 $f(x)=g(x)h(x)$ ,其中 $g(x),h(x)$ 为 $P[x]$ 中次数大于零的多项式,则 $f ( x + c ) = g ( x + c ) h ( x + c ) .$
而 $g ( x + c ) , h ( x + c )$ 也为 $P[x]$ 中次数大于零的多项式,所以 $f(x+c)$ 也可约,矛盾.

证明多项式 $x ^ { 6 } + x ^ { 3 } + 1$ 在有理数域上不可约.

证明:记 $f ( x ) = x ^ { 6 } + x ^ { 3 } + 1 ,$ 则 $/begin{aligned} f ( x + 1 ) & = ( x + 1 ) ^ { 6 } + ( x + 1 ) ^ { 3 } + 1 // & = x ^ { 6 } + 6 x ^ { 5 } + 1 5 x ^ { 4 } + 2 1 x ^ { 3 } + 1 8 x ^ { 2 } + 9 x + 3 . /end{aligned}$
取素数 $p=3$ ,明显有 $p /nmid 1 ; p /mid 6 , 1 5 , 2 1 , 1 8 , 9 , 3 ; p ^ { 2 } /nmid 3 .$
于是由艾森斯坦判别法可知 $f(x+1)$ 在有理数域上不可约,进而 $f(x)$ 在有理数域上也不可约.

设 $a_1,a_2, /cdots ,a_n$ 为互异的整数,证明 $f ( x ) = ( x - a _ { 1 } ) ^ { 2 } ( x - a _ { 2 } ) ^ { 2 } /cdots ( x - a _ { n } ) ^ { 2 } + 1$ 在有理数域上不可约

证明:反证法,若 $f(x)$ 在有理数域上可约,则其一定分解为两个整系数多项式的乘积,设为 $f ( x ) = f _ { 1 } ( x ) f _ { 2 } ( x ) ,$ 其中 $f _ { 1 } ( x ),f _ { 2 } ( x )$ 是次数大于零的首1整系数多项式.那么由
$f ( a _ { i } ) = f _ { 1 } ( a _ { i } ) f _ { 2 } ( a _ { i } ) = 1 ( i = 1 , 2 , /cdots , n )$
且 $f _ { 1 } ( a _ { i } ) , f _ { 2 } ( a _ { i } ) /in /mathbb{Z}$ 可知 $f _ { 2 } ( a _ { i } ) = f _ { 2 } ( a _ { i } ) = /pm 1$ ,注意到 $f ( x ) /geqslant 1 > 0$ ,所以 $f(x)$ 无实数根,进而 $f _ { 1 } ( x ) , f _ { 2 } ( x )$ 也无实数根,于是对任意的 $i = 1 , 2 , f _ { i } ( a _ { 1 } ) , f _ { i } ( a _ { 2 } ) , /cdots , f _ { i } ( a _ { n } )$ 都是同号的(都为1或者都为-1),不妨设它们都为1,则 $f _ { 1 } ( x ) - 1$ 与 $f _ { 2 } ( x ) - 1$ 均以 $a _ { 1 } , a _ { 2 } , /cdots , a _ { n }$ 为根,从而其次数均大于等于 $n$ ,再结合其次数之和为 $2n$ ,所以 $f _ { 1 } ( x ) - 1 , f _ { 2 } ( x ) - 1$ 都是 $n$ 次首1多项式,即
$f _ { 1 } ( x ) - 1 = f _ { 2 } ( x ) - 1 = ( x - a _ { 1 } ) ( x - a _ { 2 } ) /cdots ( x - a _ { n } ) .$
从而 $f ( x ) = f _ { 1 } ( x ) f _ { 2 } ( x )$ 就等价于 $/begin{aligned} ( x - a _ { 1 } ) ^ { 2 } ( x - a _ { 2 } ) ^ { 2 } /cdots ( x - a _ { n } ) ^ { 2 } + 1 & = [ ( x - a _ { 1 } ) ( x - a _ { 2 } ) /cdots ( x - a _ { n } ) + 1 ] ^ { 2 } // & = ( x - a _ { 1 } ) ^ { 2 }( x - a _ { 2 } ) ^ { 2 } /cdots ( x - a _ { n } ) ^ { 2 } + 2 ( x - a _ { 1 } ) ( x - a _ { 2 } ) /cdots ( x - a _ { n } ) + 1 . /end{aligned}$ 这等价于 $2 ( x - a _ { 1 } ) ( x - a _ { 2 } ) /cdot /cdot /cdot ( x - a _ { n } ) = 0 ,$ 矛盾.

证明: $f(x)=x^{3}-5x+1$ 在有理数域上不可约.

证明:由于 $f(x)$ 为3次整系数多项式,若其在有理数域上可约,则一定存在一次因式,进而一定存在有理根.而 $f(x)$ 的有理根只可能为 $/pm 1$ ,明显 $f(1)=-3 /neq 0,f(-1)=5 /neq 0$ ,所以 $f(x)$ 不存在有理根,从而 $f(x)$ 在有理数域上不可约.

证明: $f(x)=(x-1)(x-2) /cdots (x-(2n-1))+1(n>1)$ 在有理数域上不可约.

证明:反证法.若 $f(x)$ 在有理数域上可约,由于 $f(x)$ 为整系数多项式,所以存在两个次数大于零的整系数多项式 $g(x),h(x),$ 使得 $f(x)=g(x)h(x).$
那么对任意的 $k=1,2, /cdots ,2n-1$ ,根据 $f(k)=1$ 可知 $g(k)h(k)=1$ 而 $g(k),h(k)$ 均为整数,所以 $g(k)$ 与 $h(k)$ 要么均为1,要么均为-1,即总有
$g(k)-h(k)=0,k=1,2, /cdots,2n-1.$
这说明 $g(x) - h(x)$ 存在 $2n-1$ 个零点、而显然 $/partial g(x), /partial h(x) < /partial f(x)=2n-1$ ,所以必有 $g(x)-h(x)=0$ (否则 $/partial (g(x)-h(x)) < 2n-1,g(x)-h(x)$ 不可能存在 $2n-1$ 个零点),也就是说 $g(x)=h(x)$ ,即
$f(x)=g(x)h(x)=g^{2}(x).$
这与 $f(x)$ 的次数为奇数矛盾.所以 $f(x)$ 在有理数域上不可约.