【科普】量子计算通识-5-哈达玛门与单位圆状态机

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以下内容参照微软研究院主题演讲《Quantum Computing for Computer Scientists（计算机科学家量子计算导读）》的结构进行整理和扩充的。
本篇是第五部分。上一篇【科普】量子计算通识-4

Hadamard Gate

在前面的文章中我们讲到，无论是矢量化的经典比特cbit还是量子比特，各种门操作都可以表示成与一个特殊矩阵相乘，比如NOT非门就可以表示成：

NOT(|0>)=/begin{pmatrix}0,1//1,0/end{pmatrix}/begin{pmatrix}1//0/end{pmatrix}=/begin{pmatrix}0//1/end{pmatrix}=|1>

同样可控非门CNOT也可以表示成：
C|10>= /begin{pmatrix}1,0,0,0//0,1,0,0//0,0,0,1//0,0,1,0/end{pmatrix} /begin{pmatrix}/begin{pmatrix}0//1/end{pmatrix}/otimes/begin{pmatrix}1//0 /end{pmatrix}/end{pmatrix} = /begin{pmatrix}1,0,0,0//0,1,0,0//0,0,0,1//0,0,1,0/end{pmatrix} /begin{pmatrix}0//0//1//0/end{pmatrix}= /begin{pmatrix}0//0//0//1/end{pmatrix}= /begin{pmatrix}/begin{pmatrix}0//1/end{pmatrix}/otimes/begin{pmatrix}0//1 /end{pmatrix}/end{pmatrix}=|11>

Hadamard哈达玛门也是类似，它是针对单个比特进行操作，公式是：

H(|0>)= /begin{pmatrix} /frac{1}{/sqrt{2}},/frac{1}{/sqrt{2}}///frac{1}{/sqrt{2}},/frac{-1}{/sqrt{2}}/end{pmatrix}/begin{pmatrix}1// 0 /end{pmatrix}= /begin{pmatrix}/frac{1}{/sqrt{2}}///frac{1}{/sqrt{2}}/end{pmatrix}

H(|1>)= /begin{pmatrix} /frac{1}{/sqrt{2}},/frac{1}{/sqrt{2}}///frac{1}{/sqrt{2}},/frac{-1}{/sqrt{2}}/end{pmatrix}/begin{pmatrix}0//1 /end{pmatrix}= /begin{pmatrix}/frac{1}{/sqrt{2}}///frac{-1}{/sqrt{2}}/end{pmatrix}

image.png

从含义上理解这个过程，那就是我们把一个经典的确定的比特位|0>或|1>变为了不确定的量子位。因为如果我们对它们进行测量（求平方）计算，那么就可以看到：
Measure/begin{pmatrix}0//1/end{pmatrix}= /begin{pmatrix}||0||^2//||1||^2/end{pmatrix}= (0,1)/Rightarrow1
Measure/begin{pmatrix}/frac{1}{/sqrt{2}}///frac{-1}{/sqrt{2}}/end{pmatrix}= /begin{pmatrix}/frac{1}{2}///frac{1}{2}/end{pmatrix}= (/frac{1}{2},/frac{1}{2})/Rightarrow0.5

注意这里比特的含义是一个硬币的非正即反，那么测量结果1就表示正面，而0.5表示什么？50%可能是正面，50%可能是反面。这是什么意思？这就是薛定谔的半死半活猫。我们的数据进入了Superposition叠加态！

Hadamard门可以把一个矢量化的经典比特cbit变为量子叠加态的qbit。

但为什么是都乘以根号二分之一的矩阵，不是其他矩阵呢？因为这个与这个矩阵相乘是可逆的！我们来看把一个cbit乘以这个矩阵两次，也就是连续做两次Hadamard门操作会怎样？

H(|1>)= /begin{pmatrix} /frac{1}{/sqrt{2}},/frac{1}{/sqrt{2}}///frac{1}{/sqrt{2}},/frac{-1}{/sqrt{2}}/end{pmatrix}/begin{pmatrix}0//1 /end{pmatrix}= /begin{pmatrix}/frac{1}{/sqrt{2}}///frac{-1}{/sqrt{2}}/end{pmatrix}

image.png

第二次：
H/begin{pmatrix}/frac{1}{/sqrt{2}}///frac{-1}{/sqrt{2}}/end{pmatrix}= /begin{pmatrix} /frac{1}{/sqrt{2}},/frac{1}{/sqrt{2}}///frac{1}{/sqrt{2}},/frac{-1}{/sqrt{2}}/end{pmatrix}/begin{pmatrix}/frac{-1}{/sqrt{2}}///frac{1}{/sqrt{2}} /end{pmatrix}= /begin{pmatrix}0//1/end{pmatrix}=|1>

image.png

Hadamad门是自身的逆操作。从这里我们也可以看出，对用Hadamard门连续操作两次，我们就实现了将一个cbit转到qbit再转回cbit，而且中间没有执行任何测量操作。这代表着我们可以在量子叠加态下进行操作！

单位圆状态机

我们先看一下NOT非门对于qbit的操作：

NOT(|0>)=/begin{pmatrix}0,1//1,0/end{pmatrix}/begin{pmatrix}1//0/end{pmatrix}=/begin{pmatrix}0//1/end{pmatrix}=|1>

NOT门其实就是把量子位的上下颠倒，就是颠倒是非的作用。
那么下面这个NOT门的单位圆状态机就好理解了：

NOT非门操作单个量子位

单位圆上面的点和其对应的非门NOT结果点，总是呈左上到右下的135度方向。

我们再看Hadamard门操作单位圆上单个量子位的结果关系图：

Hadamard门操作单个量子位

单位圆上面的点和其对应的哈达玛门操作结果点，总是呈左上到右下的112.5度（90+45/2）。

我们可以利用这两个单位圆状态机来快速计算一些量子操作。我们用X表示NOT门，用H表示哈达玛门，那么就有：

非门与哈达玛门联合操作

注意这里，尽管非门和哈达玛门都是可逆的运算，连续两次非门或者连续两次哈达玛门都没意义，但是如果2次非门和2次哈达玛门交替操作，结果却会大不相同，如上图所示两非两哈交替操作之后(1,0)变成了(0,-1)。

在这里，单位圆状态机是针对实数的（有理数和无理数），如果要针对复数（实数和虚数）来做的话，那就需要用一个球来表示了。

小结

  • 经典比特cbit是量子比特qbit的特殊情况，其实就是个二元向量。
  • 量子比特qbit可以处于亦正亦反的叠加状态Superposition。
  • 叠加态的量子比特可以通过测量Measure求平方得到坍塌结果。
  • 可以用矩阵来操作量子比特，因为量子比特本身就是矢量矩阵。
  • 哈达玛Hadamard门可以把0或1的矢量位变为叠加态，或者再变回来。
  • 可以利用图形化的单位量子状态机来进行简单比特运算。

下一篇我们开始介绍多伊奇乔扎算法。

下一篇：【科普】量子计算通识-6

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