2022年同等学力申硕计算机综合试题解析–数学基础

zhangchen • 2023-05-19 01:04 • 杂文

声明：今年的题目解析有部分来自老师是讲解，有部分是本人做的补充，如有疑问请及时留言（第二题第3小题异常，无法求解）。

一、（共3分）用逻辑符号表达下列语句

1. 任意一个自然数，有且只有一个后继（论域为一切自然数）

解析：解法一：(仅供参考)P(x): x是自然数，Q(x,y):y是x的后继，R(x,y):x与y相等

$(/forall x)(/exists y)(P(x)∧Q(x,y) ∧ (/forall z)(P(x) ∧Q(x,z) /rightarrow R(y, z)))$

解法二：P(x)：x是自然数， A(x,y)：x + 1=y （自然数：非负整数）

$/forall x /exists y P(x) /rightarrow (P(y) /land A(x,y))$

二、解答题

1．有以下前提 $¬(𝑷 ∨ 𝑹) , ¬(𝑷 → ¬ 𝑸), ¬𝑹,$ 化简（ F ）用最简方式表达。

解析：假设三个前提为T

$¬(𝑷 ∨ 𝑹) /Leftrightarrow ¬𝑷 /land ¬ 𝑹$ (德摩根律) 由前提 $¬ 𝑹$ 可得 $¬𝑷 /land ¬ 𝑹 /Leftrightarrow ¬𝑷$ 可知 $𝑷 = F$

此时 $𝑷 → ¬ 𝑸 /Leftrightarrow T$ （前提假设为F，则无论结论如何结果都为T）

则有 $¬ (𝑷 → ¬ 𝑸) /Leftrightarrow F$ 与前提假设相矛盾，题目可以化简成 F

2. 11 个人分四组，第一组四人，第二组三人，第三组不分人，第四组四人，共有( 11550 )分法。

解析：本题主要考组合。

第一组选四人 $C(11,4)$ , 第二组选三人 $C(7,3)$ ,由于第三组为空组，剩下的4个人就直接划分到第四组。因此总共分法为：

$C(11,4) *C(7,3) = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 /(4*3*2*1*3*2*1) = 11550$

3. $/left/{ x /in R, x = x^2 +1 /right/}$ , R的幂满足 $x /in R, <x,y> /in R$ ,已知 $A = <0,1,2>, B =$ ,求 $R(A /oplus B) =$ ( )。

解析：（题目有问题）

4. 顶点𝒏 ≥ 𝟑的简单连通平面图，每个面的度数为 3，则边数为（ 3n-6 ）。

解析：根据题干中的信息，可以用欧拉公式去解题： v-e+r =2, d/2 = e, 其中 d代表度，v是点数，

e是边数，r是面数。而此题v=n，d=3r，代入欧拉公式n-e+r = 2，且 3r/2 = e。r=2e/3 ，代入前式得

n-e+2e/3 = 2, 得e = 3n-6。

5. G=（V,E）有 10 个顶点，15 条边，需要用（ 4 ）种颜色染它的边。

图1

解析：该图为peterson图，其性质是点色数为3，边色数为4。

三、简单题

1.已知 $/sum/nolimits_{k=0}^∞ a_{k} x^k = /frac{1+x+x^2 +x^3}{1-x}$ ，

（1）求 $a_{3}$ ，

（2）求 $/left/{ a_{n} /right/}$ 。

解析：

（1） $/frac{1+x+x^2 +x^3}{1-x} = /frac{(1+x)+x^2(1+x)}{1-x} = /frac{(1+x^2)(1+x)}{1-x} = /frac{(1+x^2)(1+x)(1+x)}{(1-x)^2}$

$= /frac{(1+x^2)(1-x^2)}{(1-x)^2} = /frac{(1-x^4)}{(1-x)^2} = (1-x^4)(1-x)^{-2}$ （公式1）

由牛顿二项式推广公式 ${(1-x)}^{-n} = /sum_{k=0}^∞C_{n+k-1}^kx^k$ 由公式1可知n=2代入推广公式，在代入公式1中，得到

$(1-x^4)(1-x)^{-2} = (1-x^4)/sum_{k=0}^∞C_{2+k-1}^kx^k =(1-x^4)/sum_{k=0}^∞(1+k)x^k$ (公式2)

将公式2代入原等式， $/sum/nolimits_{k=0}^∞ a_{k} x^k = (1-x^4)/sum_{k=0}^∞(1+k)x^k$

求 $a_3$ 即求 $x^3$ 的系数， $a_3 = (1+k)/vert _{k=3} = 4$ ;

（2）可以考虑展开式和数学归纳法

因此当可以得到当 n <= 3 时 $a_n = n+1$ , 当n > 3时， $a_n = 4$

2. 已知𝑨 = {𝟏, 𝟐, 𝟑}, 𝑩 = {𝟏, 𝟐}，A 的幂集 P(A)上的二元关系满足， 𝑺, 𝑻 ∈𝑷(𝑨), < 𝑺, 𝑻 >∈ 𝑹当且仅当𝑺 ∪ 𝑩 = 𝑻 ∪ 𝑩。

（1）求 P(A)的基，画出 R 的关系图；

（2）判断 R 是否是 P(A)上的等价关系，如果是请说明，并计算 P(A)/R 的商集；如果不是，请说明理由。

解析：（1）可列集中，含有有限个元素的集合称为有限集，基数定义为其元素的个数；与自然数集对等的集合称为可列集，基数定义为 ℵ0 ；含有无限个元素且与自然数集不对等的集合称为不可数集；含有有限个元素的集合与可列集统称为至多可数集。

𝑨 = {𝟏, 𝟐, 𝟑} 因此可得 $P(A) =/{ /phi ,/{1/} ,/{2/} ,/{3/}, /{1,2/},/{1,3/},/{2,3/}, /{1,2,3/} /}$ 则有 $/vert P(A) /vert = 8$

由条件𝑺, 𝑻 ∈𝑷(𝑨), < 𝑺, 𝑻 >∈ 𝑹当且仅当𝑺 ∪ 𝑩 = 𝑻 ∪ 𝑩 且 𝑩 = {𝟏, 𝟐}，当𝑺 ∪ 𝑩 = 𝑻 ∪ 𝑩 = {1,2}时，此时 𝑺, 𝑻 $/in /{ /phi ,/{1/} ,/{2/} ,/{1,2/} /}$ ，即 $R = /{ </phi>, ,, , , /}$ ，

如果当𝑺 ∪ 𝑩 = 𝑻 ∪ 𝑩 = {1,2,3}时，则有𝑺, 𝑻 $/in /{ /{3/},/{1,3/},/{2,3/}, /{1,2,3/} /}$ ，即 $R=/{ </NO>,,,,, /}$

因此R的关系图有两个：

R的第一种关系图

R的第二种关系图

（2）判断R是否是等价关系，只需要正面R是否满足自反性，对称性和传递性；

因为< 𝑺, 𝑻 >∈ 𝑹当且仅当𝑺 ∪ 𝑩 = 𝑻 ∪ 𝑩 ，可得 𝑺 ∪ 𝑩 = 𝑺 ∪ 𝑩 则< 𝑺, 𝑺 >∈ 𝑹，满足自反性；

< 𝑺, 𝑻 >∈ 𝑹当且仅当𝑺 ∪ 𝑩 = 𝑻 ∪ 𝑩 ，𝑻 ∪ 𝑩 = 𝑺 ∪ 𝑩，则有< 𝑻，𝑺 >∈ 𝑹 ，满足对称性；

引入中间传递集w，设< 𝑺, w>∈ 𝑹 ，< w, 𝑻 >∈ 𝑹 可得 𝑺 ∪ 𝑩 = w ∪ 𝑩 和 w ∪ 𝑩 = 𝑻 ∪ 𝑩 结合可得𝑺 ∪ 𝑩 = 𝑻 ∪ 𝑩 进而得到了< 𝑺, 𝑻 >∈ 𝑹 ，满足传递性。

基于以上三点，可知R是等价关系。

商集计算：

3. 五位老师审阅 5 本书，一本书至少需要审阅两次，而且第二次审阅的老师不能与第一次审阅的相同，请问审阅两次需要多少种不同排法？

解析： 第一轮有5!排法，而第二轮则要求与第一次不同老师，则就是完全错排问题（参考2020年第四题）

因此总数为 $5!D_5 = 5!*5! (1-1+/frac{1}{2!}- /frac{1}{3!} +/frac{1}{4!} -/frac{1}{5!}) = 5!*44 = 5280$

四、证明题

1、下列等值式是否正确。如正确，请证明；如错误，请举出反例。

$∃𝒙(𝑷(𝒙) → 𝑸(𝒙)) = (∀𝒙) 𝑷(𝒙) → (∃𝒙) 𝑸(𝒙)$

解析：（解法一） $∃𝒙(𝑷(𝒙) → 𝑸(𝒙)) /Leftrightarrow ¬(∃𝒙𝑷(𝒙) /lor (∃𝒙𝑸(𝒙))$

$/Leftrightarrow /forall 𝒙 ¬𝑷(𝒙) /lor (∃𝒙𝑸(𝒙)) /Leftrightarrow (/forall 𝒙) 𝑷(𝒙) /rightarrow (∃𝒙𝑸(𝒙)) /Leftrightarrow (/forall 𝒙) 𝑷(𝒙) /rightarrow (∃𝒙)𝑸(𝒙)$