趣味数学：两数之积与两数之和相加

问题

在 至 这 个自然数中共有多少个数能表示成 （ 是正整数）形式的数？

【解析】

记 ,

则 ,

具体说来，有

设想我们制作一张表格，那这张表格是对称的；

因此，我们可以集中精力考虑 的情况。

先考虑一种特殊情况

显然， 以上就不需要再考虑。

,

的值对应以下数列： ;

这是 以内，除 以外的奇数；

所以，除了 以外， 以内的奇数都可以用 来表示。

当 为奇数， 一定是奇数，已经包含在 中。

因此，以下只讨论偶数，只讨论 均为偶数的情况。

这几个数列的规律性并不是很强。好在 以内的偶数只有 个，参考「筛法求素数」，我们可以画出一张 的表格，然后把以上四个公式能够表示的数找出来。

从表格可以看出， 以内的偶数中，有 个可以用 表示；

在前面我们已经知道， 以内的奇数中， 不能表示，其他 个都可以；

综上所述，在 至 这 个自然数中共有 74 个数能表示成 （ 是正整数）形式.

【提炼与提高】

这是一个优秀的小学竞赛题。其特点如下：

1）解答本题所需要的知识都在小学范围内；

2）没有固定的套路可用；

3）可以借鉴求素数的「筛法」；